爱因斯坦的广义相对论赋予时间以形状。这如何与量子理论相互和谐。

时间为何物？它是否像古老赞歌说的那样，把我们所有的梦想一卷而空的东流逝波？抑或像一道铁轨？它或许有环状侧线和分岔，这样你可以一直前进，却又回到线上的早先过站（图2.1）。

19世纪作家查里斯·兰姆写道：“世间万物没有任何东西像时间和空间那么使我困惑。然而，因为我从来不去思考时间和空间，所以它们带给我的烦恼比任何其他东西都少。”我们中的大多数人在大部分时间不去忧虑时间和空间，不管它们为何物；但是我们所有人有时极想知道时间是什么，它如何开始，并且把我们导向何方。

关于时间或者任何别的概念的任何可靠的科学理论，依照我的意见，都必须基于最可操作的科学哲学之上：这就是卡尔·波普和其他人提出的实证主义的方法。按照这种思维方式，科学理论是一种数学模型，它能描述和整理我们所进行的观测。一种好的理论可在一些简单假设的基础上描述大范围内的现象，并且做出能被检验的确定的预言。如果预言和观测相一致，则该理论在这个检验下存活，尽管它永远不可能被证明是正确的。另一方面，如果观测和预言相抵触，人们必须将该理论抛弃或者修正。（人们认为这终究是要发生的。但是人们在实际中经常诘问观测的精确性和可靠性以及那些观测者的道德品质。）如果人们如同我那样，采用实证主义立场，他就不能说时间究竟为何物。人们所能做的一切，是将所发现的东西描述成一种非常好的关于时间的数学模型从而说明它能预言什么。

艾萨克·牛顿在他1687年出版的《数学原理》一书中为我们给出时间和空间的第一个数学模型。牛顿担任剑桥的卢卡斯教席。我现在担任的正是同一教席。虽然在牛顿那个时代这一教席不用电力驱动。时间和空间在牛顿的模型中是事件发生的背景，但是这种背景不受事件的影响。时间和空间相互分离。时间被认为是一根单独的线，或者是两端无限延伸的铁轨（图2.2）。时间本身被认为是永恒的，这是在它已经存在并将存在无限久的意义上来说的。与此相反，大多数人认为有形宇宙是在区区几千年前以多少和现状相同的形态创生的。这引起哲学家们的忧虑，譬如德国思想家伊曼努尔·康德。如果宇宙的的确确是被创生的，那么为何要在创生之前等待无限久？另一方面，如果宇宙已经存在了无限久，为何将要发生的每一件事不早已发生，使得历史早已完结？特别是，为何宇宙尚未到达热平衡，使得万物都具有相同温度？

康德把这个问题称作“纯粹理性的二律背反”，因为它似乎是一个逻辑矛盾；它没有办法解决。但是只有在牛顿数学模型的框架里它才是矛盾。时间在牛顿模型中是一根无限的线，它独立于在宇宙中发生的东西。然而，正如我们在第一章中看到的，爱因斯坦在1915年提出了一种崭新的数学模型：广义相对论。在爱因斯坦发表该论文以后的年代里，我们又添加了一些细节，但是爱因斯坦提出的理论仍然是我们时间和空间模型的基础。本章和下几章将描述，从爱因斯坦革命性论文之后的年代里我们的观念是如何发展的。这是许许多多人合作成功的故事，而且我为自己的小贡献感到自豪。

广义相对论把时间维和空间的三维合并形成所谓的时空（见33页，图2.3）。该理论将引力效应表达为，宇宙中物质和能量的分布引起时空弯曲和畸变，使之不再平坦。这个时空中的物体企图沿着直线运动，但是因为时空是弯曲的，它们的轨迹显得被弯折了。它们的运动犹如受到引力场的影响。

作为一个粗糙的比喻，但不要过于拘泥，想象一张橡皮膜。人们可把一个大球放在膜上，它代表太阳。球的质量把膜压陷下去，使之在太阳邻近弯曲。现在如果人们在膜上滚动小滚珠，它不会直接地滚到对面去，而是围绕着该重物运动，正如行星绕日公转一样（图2.4）。

这个比喻是不完整的，因为在这个比喻中只有空间的两维截面（橡皮膜的表面）是弯曲的，而时间正如在牛顿理论中那样，没有受到扰动。然而，在与大量实验相符合的相对论中，时间和空间难分难解地相互纠缠。人们不能只使空间弯曲，而让时间安然无恙。这样就赋予时间以形状。广义相对论使空间和时间弯曲，把它们从被动的事件发生的背景改变成为发生事件的主动的动力参与者。在牛顿理论中，时间独立于其他万物而存在，人们也许会诘问：上帝在创造宇宙之前做什么？正如圣·奥古斯丁说的，人们不可以此为笑柄，就像有人这样说过：“它正为那些寻根究底的人们准备地狱。”这是一个人们世代深思的严肃的问题。根据圣·奥古斯丁的说法，在上帝制造天地之前，它根本无所作为。事实上，这和现代观念非常接近。

另一方面，在广义相对论中时间和空间的存在不仅不能独立于宇宙，而且不能相互独立。它们由宇宙中的测量定义，譬如钟表中的石英晶体的振动数或者尺子的长度。以这种方式在宇宙中定义的时间应该有一个最小或者最大值，换句话说，也就是开端或者终结，这是完全可以理解的。询问在开端之前或者终结之后发生什么是没有任何意义的，因为这种时间是不被定义的。

判定广义相对论的数学模型是否预言宇宙以及时间本身应有一个开端或者终结，显然是非常重要的。在包括爱因斯坦在内的理论物理学家中普遍有一种成见，认为时间在两个方向都必须是无限的。否则的话就引起有关宇宙创生的令人不安的问题，这个问题似乎在科学王国之外。人们知道时间具有开端或者终结的爱因斯坦方程的解，但是所有这些解都是非常特殊的，具有大量的对称性。人们以为，实际物体在自身引力下坍缩时，其压力或者斜方向的速度会阻止所有物质一道落向同一点，使那一点的密度变成无限大。类似地，如果人们在时间的相反方向将宇宙膨胀倒溯回去，他会发现宇宙中的全部物质并非都从具有无限密度的一点涌现。这样无限密度的点称为奇点，并且是时间的开端或终结。

1963年两位苏联科学家叶弗根尼·利弗席兹和艾萨克·哈拉尼科夫宣称他们证明了，所有具有奇点的爱因斯坦方程的解都对物质和速度做过特殊的排列。代表宇宙具有这种特殊排列的解的机会实际上为零。几乎所有能代表宇宙的解都避免无限密度的奇点：在宇宙膨胀时期之前一定有过一个预先的收缩相。在收缩相中物质落到一起，但是相互之间不碰撞，在现在的膨胀相中重新分离。如果事实果真如此，则时间就会从无限过去向无限将来永远流逝。

利弗席兹和哈拉尼科夫的论证并没有使所有人信服。相反，罗杰·彭罗斯和我采用了不同的手段，不像他们那样基于解的细节研究，而是基于时空的全局结构。在广义相对论中，不仅在时空中的大质量物体，而且在其中的能量将时空弯曲。能量总是正的，所以它赋予时空这样的曲率，使光线的轨道向相互方向弯折。

现在考虑我们的过去光锥（图2.5），也就是从遥远的星系来的，在此刻到达我们的光线通过时空的途径。在一张时间向上方画空间往四边画的图上，它是一个圆锥，其顶点正是我们的此时此地。随着我们在光锥中从顶点向下走向过去，我们就看到越来越早的星系。因为迄今为止宇宙都在膨胀，而且所有的东西在以前更加靠近得多。当我们更进一步往回看，我们便透过物质密度更高的区域。我们观测到微波辐射的黯淡背景，这种辐射是从宇宙在比现在密集得多也热得多的极早的时刻，沿着我们的过去光锥传播到我们的。我们把接收器调谐到微波的不同频率，就能测量到这个辐射的谱（功率随频率的分布）。我们发现了一个温度比绝对零度高2.7度的物体发出的特征辐射谱。

这种微波辐射不能溶化冻比萨饼，但是该谱和2.7度的物体辐射谱那么一致这一事实告诉我们，这种辐射必须起源于对微波不透明的区域（见38页，图2.6）。

这样，我们能够得出结论，当我们沿着过去光锥回溯过去，它必须通过一定量的物质。这么多的物质足以弯曲时空，使得我们过去光锥中的光线往相互方向弯折（图2.7）。

当我们往过去回溯，过去光锥的截面会达到最大尺度，然后开始再度缩小。我们的过去是梨子形状的（图2.8）。

当人们沿着我们过去光锥回溯得更远，物质的正的能量密度使光线朝相互方面更强烈地弯折。光锥的截面在有限的时间内缩小到零尺度。这意味着，在我们过去光锥之内的所有物质被捕获在一个边界收缩为零的区域之内。因此，彭罗斯和我能够在广义相对论的数学模型中证明，时间必须具有称为大爆炸的开端就不足为奇了。类似的论证显示，当恒星和星系在它们自身的引力下坍缩形成黑洞，时间会有一个终结。我们抛弃了康德的暗含的假设，即时间具有独立于宇宙的意义的假设，因此逃避了他的纯粹理性的二律背反。我们证明时间具有开端的论文在1968年赢得引力研究基金会的第二名论文奖，罗杰和我对分了这丰厚的300美元。我认为同一年获奖的其他论文没有什么久远的价值。

不确定性原理

年马克斯·普朗克提出，光总是以他叫做量子的小波包传递的，这是发现量子论的重要步骤。虽然普朗克的量子假设清晰地解释了热体辐射率的观察，但是直到20世纪20年代中期当德国物理学家威纳·海森伯提出了著名的不确定性原理之后，其全部含义才被人们意识到。

他注意到，普朗克假设意味着，人们越想精确地测量一个粒子的位置，则他只能越不精确地测量其速度，反之亦然。

更精确地讲，他证明了粒子位置的不确定性乘以它的动量的不确定性总比普朗克常量大，这个常量是和一个光量子的能量含量密切相关的一个量。

海森伯不确定性方程

我们的研究引起了各式各样的反应。它使很多物理学家烦恼，但是使信仰创世纪的宗教领袖们欣喜：此处便是创世的科学证明。此时，利弗席兹和哈拉尼科夫就处于尴尬的境地。他们无法和我们证明的数学定理争辩，但是在苏维埃制度下，他们又不能承认自己错了，而西方科学是对的。然而，他们找到一族具有奇点的更一般的解，不像他们原先的解那么特殊，以此挽回颓势。这样他们便可以宣称，奇性以及时间的开端或终结是苏维埃的发现。

麦克斯韦场

1865年英国物理学家詹姆士·克拉克·麦克斯韦把电学和磁学的所有已知定律合并在一起。麦克斯韦理论以从一处到另一处传递作用的“场”的存在为基础。他意识到传递电磁扰动的场是动力学的实体：它们能够振荡并且穿越空间运动。

电磁学的麦克斯韦综合可以浓缩成制约这些场的动力学的两个方程。他自己从这些方程推导出第一个伟大的结论：所有频率的电磁波都以同样固定的速率——光速在空间旅行。

大多数物理学家仍然本能地讨厌时间具有开端或终结的观念。因此他们指出，可以预料数学模型不能很好地描述奇点附近的时空。其原因是，描述引力的广义相对论是一种经典理论，正如在第一章中提到的，它和制约我们已知的所有其他的力的量子理论的不确定性不相协调。因为在宇宙的大多数地方和大多数时间里，时空弯曲的尺度非常大，量子效应变得显著的尺度非常小，这种不一致性没有什么关系。但是在一个奇点附近这两种尺度可以相互比较，而量子引力效应就会很重要。这样，彭罗斯和我自己的奇性定理真正确立的是，我们时空的经典区域在过去或许还在将来以量子引力效应显著的区域为边界。为了理解宇宙的起源和命运，我们需要量子引力论，这将是本书大部分的主题。

具有有限数量粒子系统，譬如原子的量子理论，是20世纪20年代由海森伯、薛定谔和狄拉克提出的。（狄拉克是我在剑桥教席的另一位前任，但是那个教席还不是机动的。）然而，当人们试图把量子观念推广到麦克斯韦场时遭遇到了困难。麦克斯韦场描述电、磁和光。

人们可以把麦克斯韦场认为是由不同波长的波组成的（波长是在两个邻近波峰之间的距离）。在一个波中，场就像单摆一样从一个值向另一个值来回摆动（图2.9）。

根据量子理论，一个单摆的基态或者最低能量的态不是只停留在最低能量的点上，而直接向下指。如果那样就具有确定的位置和确定的速度，即零速度。这就违反了不确定性原理，这个原理禁止同时精确地测量位置和速度。位置的不确定性乘上动量的不确定性必须大于称为普朗克常量的一定量。普朗克常量因为经常使用显得太长，所以我们用一个符号h来表示它。

这样一个单摆的基态，或最低能量的态，正如人们可以预料到的，不具有零能量。相反，甚至在一个单摆或者任何振动系统的基态之中，必须有一定的称为零点起伏的最小量。这些意味着单摆不必垂直下指，它还有在和垂直方向成小角度处被发现的概率（图2.10）。类似地，甚至在真空或者最低能的态，在麦克斯韦场中的波也不严格为零，而具有很小的量。单摆或者波的频率（每秒钟摆动的数目）越高，则基态的能量越高。

人们计算了麦克斯韦场和电子场的基态起伏，发现这种起伏使电子的表观质量和电荷都变成无限大，我们根本没有观测到这一点。然而，在20世纪40年代物理学家理查德·费恩曼、朱里安·施温格和朝永振一郎发展了一种协调的方法，除去或者“减掉”这些无限大，而且只要处理质量和电荷的有限的观测值。尽管如此，基态起伏仍然产生微小效应，这种效应可被测量到，并和实验符合得很好。杨振宁和罗伯特·米尔斯提出的理论中的杨-米尔斯场的无限大也可用类似的扣除方案排除掉。杨-米尔斯理论是麦克斯韦理论的一种推广，它描述另外两种称为弱核力和强核力的相互作用。然而，在量子引力论中基态起伏具有严重得多的效应。这里重复一下，每一波长各具基态能量。由于麦克斯韦场具有任意短的波长，所以在时空的任一区域中都具有无限数目的不同波长，并因此具有无限量的基态能。因为能量密度和物质一样是引力之源，这种无限大的能量密度表明，宇宙中存在足够的引力吸引，使时空卷曲成单独的一点，显然这并未发生。

人们也许会说基态起伏没有引力效应，以冀解决似乎在观测和理论之间的冲突，但是这也不可行。人们可以利用卡西米尔效应来检测基态起伏的能量。如果你把一对金属板相互平行地放置，并且让它们靠近。平板的效应是把符合在平板之间的波长的数目相对于外面的数目稍微减少一些。这就意味着，在平板之间的基态起伏的能量密度虽然仍为无限大，却比外界的能量密度少了有限量（图2.11）。这种能量密度差产生了将平板拉到一起的力量，实验已经观测到这种力量。在广义相对论中，力正和物质一样是引力的源。这样，如果无视这种能量差的引力效应则是不协调的。

自旋

所有粒子都具有称作自旋的性质，该性质和粒子从不同方向看起来什么样子相关联。人们可以用扑克牌来展示这一点。首先考虑黑桃么点。只有把它转动一整圈或者360°，它才显得相同。所以人们说它的自旋为1。

另一方面，红心皇后有两个头。所以只要转动半圈或者180°，就变成一样。所以人们说它的自旋为2。类似地，人们可以想象具有自旋3或者更高的对象，它们在转动更小角度下显得相同。

自旋越高，使粒子显得相同的旋转所需要的整圈部分就越小。但是以下事实令人印象深刻，存在旋转两整圈才显得相同的粒子，这种粒子被称为具有自旋1/2。

通常的数

A×B=B×A

格拉斯曼数

A×B=-B×A

解决这个问题的另一种可能的办法，是假定存在爱因斯坦为了得到宇宙的静态模型引进的宇宙常数。如果该常数具有无限大负值，它就可能精确地对消自由空间中的基态能量的无限大正值。但是这个宇宙常数似乎专为这个目的，而且必须被无限准确地调准。

20世纪70年代人们非常幸运地发现了一种崭新的对称。这种对称机制将从基态起伏引起的无穷大对消了。超对称是我们现代数学模型的一个特征，它可以不同的方式来描述。一种方式是讲，时空除了我们体验到的维以外还有额外的维。这些维称为格拉斯曼维，因为它们是用所谓的格拉斯曼变量的数而不用通常的实数来度量。通常的数是可交换的，也就是说你进行乘法时乘数的顺序无关紧要：6乘以4和4乘以6相等。但是格拉斯曼变量是反交换的，x乘以y和-y乘以x相等。

宇宙中的所有已知粒子可以分成两组，费米子或者玻色子。费米子的自旋为半整数（例如自旋为1/2）的粒子，它们构成通常的物体。它们的基态能量是负的。

玻色子的自旋为整数（例如自旋为0，1，2）的粒子，它们在费米子之间引起力，诸如引力和光。它们的基态能量是正的。超引力理论认为，每一种费米子和玻色子都具有其自旋比它大或小1/2的“超伴侣”。例如，光子（它是玻色子）的自旋为1。它的基态能量是正的。光子的超伴侣，光微子的自旋为1/2，使它成为费米子。所以其基态能量是负的。

在这种超引力方案中我们得到同等数目的玻色子和费米子。玻色子的基态能量处于天平正的一端，而费米子处于天平负的一端，基态能量就相互抵消了，因而消除了最大的无限大。

粒子行为的模型

1 如果点粒子作为分立的像撞球那样的元素真实存在，那么当两个粒子碰撞时，它们的路径就会被偏离到两个新的轨道去。

2 这是两个粒子相互作用所呈现的景象，虽然其效应更生动得多。

3 量子场论展示，像电子和它的反粒子正电子的两个粒子碰撞。在这个过程中，它们在一次能量迸发时短暂地相互湮灭，而且创生一个光子。光子再释放能量，产生了另一电子-正电子对。这仍然显得仿佛它们的路径仅仅被偏离到新的轨道去。

4 如果粒子不是零维的点而是一维的弦，在弦上振荡的圈环作为一个电子或正电子而振动，电子和正电子碰撞，那么在相互湮灭时创生了新的具有不同振动模式的弦。新弦释放能量，分成两个继续沿着新的轨道的弦。

5 如果不把原先那些弦看成分立的时刻，而把它们看成在时间中的连续的历史，那么所得到的弦就变成一个弦世界片。

超对称首先用于无论通常数的维还是格拉斯曼维都是平坦而不是弯曲的时空中去消除物质场和杨-米尔斯场的无穷大。但是把它推广到通常数和格拉斯曼维的弯曲的情形是很自然的事。这就导致一些称为超引力的理论，它们分别具有不同数目的超对称。超对称的一个推论是，每一种场或粒子应有一个其自旋比它大或小二分之一的“超伴侣”（图2.12）。

玻色子，也就是其自旋为整数（0，1，2等）的场的基态能量是正的。另一方面，费米子，也就是其自旋为半整数（1/2，3/2等）的场的基态能量是负的。因为存在相等数目的玻色子和费米子，超引力理论中的最大的无限大就被抵消了（图2.13）。

或许还遗留下更小的但是仍然无限的量的可能性。无人有足够的耐心，去计算这些理论究竟是否完全有限。人们认为，一名能干的学生要花费200年才能完成此事，而且你何以得知他是否在第二页就犯错误了？直到1985年大多数人仍然相信，最超对称的超引力理论可避免无限大。

然后时尚突然改变。人们宣称，没有理由期望超引力理论可以避免无限大，而这意味着，它们作为理论而言，具有致命的缺陷。相反，人们宣称，称为超对称弦理论是仅有的把引力和量子理论合并的方法。弦，正如在日常经验中的它的同名物，是一维的延展的物体。它们只有长度。在弦理论中弦在时空背景中运动。弦上的涟漪被解释为粒子（图2.14）。

如果弦除了它们通常数的维外，还有格拉斯曼维，涟漪就对应于玻色子和费米子。在这种情形下，正的和负的基态能就会准确对消到甚至连较小种类的无限大都不存在。人们宣布超弦是TOE，也就是万物的理论。

未来的科学史家将会发现，去描绘理论物理学家中的思潮变化是很有趣的事。在好些年里，弦理论至高无上，而超引力只能作为在低能下有效的近似理论而受到轻视。限定词“低能”尤其晦气，尽管此处低能是指其能量比一百亿亿倍的在TNT爆炸中粒子能量更低的粒子。如果超引力仅仅是低能近似，它就不能被宣布为宇宙的基本理论。相反，五种可能的超弦理论中的一种被认为是基本理论。但是五种弦理论中的哪一种描述我们的宇宙呢？还有，除了弦被描绘成具有一个空间维和一个时间维的通过平坦时空背景运动的面的近似以外，弦理论应如何表述呢？难道弦不会弯曲背景时空吗？

1985年后，弦理论不是完整的图象这一点逐渐清晰了。一开始，人们意识到，弦只不过是延展成多于一维的物体的广泛族类中的一员。保罗·汤森，他正如我一样是剑桥的应用数学和理论物理系的成员，他关于这些东西做了许多基本研究，将这些东西命名为“p膜”。一个p膜在p个方向上有长度。这样p=1的膜是弦，p=2的膜是面或者薄膜，等等（图2.15）。似乎没有理由对p=1的弦的情形比其他可能的p值更宠爱。相反地，我们应该采用p膜的民主原则：所有p膜都是生来平等的。

在十维或者十一维的超引力理论的方程中可以找到所有p膜的解。十维或十一维听起来不太像我们体验的时空。人们的观念是，其余的六维或七维被弯卷成这么小，小到我们觉察不到；我们只知悉剩下的四个宏观的几乎平坦的维。

我应该说，对于额外维的存在，我本人一直持狐疑态度。但是，对于我这样的一名实证主义者而言，“额外维的确存在吗？”的问题是没有意义的。人们最多只能问：具有额外维的数学模型能很好地描述宇宙吗？我们还没有任何不用额外维便无法解释的观测。然而，我们用在日内瓦的大型强子碰撞机有可能观察到它们。但是，使包括我在内的许多人的，必须认真地接受具有额外维的模型的信服理由是，在这些模型之间存在一种所谓对偶性的意外的关系之网。这些对偶性显示，所有这些模型在本质上都是等效的；也就是说，它们只不过是同一基本理论的不同方面，这个基本理论已被叫做M-理论。怀疑这些对偶性之网是我们在正确轨道上的征兆，有点像相信上帝把化石放在岩石中去是为了误导达尔文去提出生命演化的理论。

这些对偶性表明，所有五种超弦理论都描述同样的物理，而且它们在物理上也和超引力等效（图2.16）。人们不能讲超弦比超引力更基本，反之亦然。人们宁愿说，它们是同一基本理论的不同表述，对在不同情形下的计算各有用处。因为弦理论没有任何无限大，所以可以很方便地用来计算一些高能粒子碰撞以及散射时会发生什么。然而，在描述非常大量数目的粒子的能量如何弯曲宇宙或者形成束缚态，譬如黑洞时没有多大用处。对于这些情形，人们需要超引力。超引力基本上是爱因斯坦的弯曲时空的理论加上一些额外种类的物质。这正是我以下主要使用的图象。

为了描述量子理论如何赋予时间和空间以形状，引进虚时间的观念是有助益的。虚时间听起来有点像科学幻想，但其实是意义明确的数学概念：它是用所谓的虚数度量的时间。人们可以将诸如1，2，-3，5等通常的实数想成对应于从左至右伸展的一根线上的位置：零在正当中，正实数在右边，而负实数在左边（图2.17）。

虚数对应于一根垂直线上的位置：零又是在中点，正虚数画在上头，而负虚数画在下面。这样虚数可被认为是与通常的实数夹直角的新型的数。因为它们是一种数学的构造物，所以不需要实体的实现；人们不能有虚数个橘子或者虚数的信用卡账单（图2.18）。

人们也许会认为，这意味着虚数只不过是一种数学游戏，与现实世界毫不相干。然而从实证主义哲学观点看，人们不能确定何为真实。人们所能做的只不过是去找哪种数学模型描述我们生活其中的宇宙。人们发现牵涉到虚时间的一种数学模型不仅预言了我们已经观测到的效应，而且预言了我们尚未能观测到，但因为其他原因仍然坚信的效应。那么何为实何为虚呢？这个差异是否仅存在于我们的头脑之中呢？

爱因斯坦经典（也就是非量子）广义相对论把实时间和三维空间合并成四维时空。但是实时间方向和三个空间方向可被识别开来；一位观察者的世界线或历史总是在实时间方向增加（也就是说，时间总是从过去运动到未来），但是它在三维空间的任何方向上可以增加或者减少。换言之，人们可以在空间中而非时间中颠倒方向（图2.19）。

另一方面，因为虚时间和实时间夹一直角，它的行为犹如空间的第四个方向。因此，它比通常的实时间的铁轨具有更丰富多彩的可能性。铁轨只可能有开端或者终结或者绕着圆圈。正是在这个虚的意义上，时间具有形状。

普朗克常量

为了领略一些可能性，考虑一个虚时间的时空，那是一个像地球表面的球面。假定虚时间是纬度（图2.20，见61页）。那么宇宙在虚时间中的历史就从南极起始。这样，“在开端之前发生了什么”的诘问就变得毫无意义。这样的时间根本无法定义，恰如不存在比南极更南的点一样。南极是地球表面上完全规则的点，相同的定律在那里正如在其他点一样成立。这暗示着，宇宙在虚时间中的开端可以是时空的正则点，而且相同的定律在开端处正如在宇宙的其他地方一样成立（宇宙的量子起源和演化将在下一章中讨论）。

在一个球面的虚时空中，虚时间方向可代表离开南极的距离。随着人们往北运动，离南极等距离的纬度圈变大，这对应着宇宙随虚时间的膨胀。宇宙在赤道处达到最大尺度，然后随着虚时间的增加而重新收缩于北极处的单独一点。尽管宇宙在两极尺度为零，但这些点不是奇点，正如地球表面上的北南两极完全是正则点。这暗示着，宇宙在虚时间中的起源可为时空中的正则点。

在一个球面的时空中的虚时间方向也可对应于经度，而非纬度。因为所有经线在北南两极相遇，时间在两极停滞不前；虚时间的增加使人们留在同一点，正如在地球的北极上向西走的人们仍然留在北极上一样。

可以把虚时间当作地球上的经度来阐明另一种可能的行为。所有经线都在北极和南极相遇（图2.21，见61页）。这样时间在那里静止，这是在这样的意义上来讲的，即虚时间或经度的增加，让人们停留在同一点。这和在一个黑洞视界上通常时间显得静止的方式非常相似。我们已经认识到这种实和虚时间的静止（两者都静止或者都不静止）意味着时空具有温度，正如我在黑洞情形下所发现的那样。黑洞不仅有温度，它的行为方式似乎还表明它具有称作熵的量。熵是黑洞内部状态（可在其内部构造的方式）数目的度量，这是具有给定的质量、旋转和电荷的黑洞允许的所有内部状态。作为黑洞外面的观察者只能观测到黑洞的这三种参数，而这些內部状态在他们看来没什么差別。我于1974年发现的一个非常简单的公式给出了黑洞的熵。它等于黑洞视界的面积：视界面积的每一基本单位都记载关于黑洞内部状态的一比特的信息。这表明在量子引力和热力学之间存在一个深刻的联系。热力学即热的科学（其中包括熵的研究）。它还暗示，量子引力能展示所谓的全息性（图2.22，见65页）。

全息原理

得知围绕黑洞的视界表面积是黑洞熵的测度后，人们提出，任何闭合空间区域的最大熵永远不能超过其外接表面积的1/4。由于熵只不过是包含在一个系统中的总信息的测度，这便暗示，在和三维世界中的所有现象相关联的信息能被存储在它的二维边界上，正如一个全息像一样。在一定的意义上讲，这个世界是二维的。

有关一个时空区域内的量子态的信息可以以某种方式被编码在该区域的少两维的边界上。这就像全息术把三维的影像携带在二维的表面上的方法。如果把量子引力和全息原理相合并，这也许意味着我们能跟踪发生于黑洞之内的东西。如果我们能够预言来自黑洞的辐射，这一点则是重要的。如果我们不能做到，我们将不能像原先以为的那样充分地预言将来。这将在第四章中讨论。我们在第七章中将再次讨论全息学。看来我们也许生活在一张3-膜，即一个四维（三维空间加一维时间）面上。它是五维区域的边界，而其余的维被卷曲得非常小。膜上的世界的态记录着发生在五维区域内一切的密码。

当一束激光透射过该显影过的感光板时，一个原先物体的完整三维像就会出现。一位观察者可在这个全息像周围移动位置，他能够看到从正常的照片看不到的所有隐藏的表面。

左面的感光板的二维表面和正常的照片不同，具有令人吃惊的性质，即它表面的任何微小碎片都包含有重建整个像所需要的全部信息。