对于计算，孩子们拥有所有必要的本能知识，这使他们对此具有一个清楚的概念，这可以作为进行计算的一个准备。数量的概念存在于感知教育配用的所有教学用具中：长、短、明、暗等。“一致”和“区别”的概念构成了感知教育目前所用技术的一个部分，孩子们从识别相同的物体开始，然后再进行相似物体的次序摆放练习。在这里，我特别讲一下孩子们用立体插件开始做的第一个练习，这个练习甚至两岁半大点儿的孩子都可以做。如果孩子把一个圆柱体放进一个对其而言显得过大的插孔，那么最后就有一个圆柱体找不到自己的位置，孩子本能地就会从一系列的连续练习中理解为什么总有一个圆柱体找不到自己的位置。孩子们的大脑对老师过早地就教他们用“某些初步的概念”进行算术还没有做好准备，但通过一个形成过程，一个缓慢的自我培养过程，孩子的大脑就准备成熟了。

要直接开始算术的教学，我们必须借助于感知教育所采用的同样的教学用具。

让我们来看一看立体插孔练习后我们展示给孩子们的三套工具，它们分别是：教孩子们区分大小的工具（粉红色立方体）、教孩子们认识厚度的工具（棕色棱柱）和教孩子们认识长度的工具（绿色的木板）。每个系列的十个工具之间都有一定的联系。在教孩子们认识长度的那一组工具中，最短的那块木板就是其余所有木板的衡量单位；第二块木板是第一块的两倍，第三块是第一块的三倍，而长度增长的比例是每块板10厘米，其他的尺寸都保持不变（也就是说，所有的木板截面都相同）。

十件工具互相之间保持着一定的联系，这种联系与1、2、3、4、5、6、7、8、9、10等计数的自然序列完全相同。

在第二组工具也就是教孩子们认识厚度的工具中，棱柱的长度保持不变，但棱柱的方截面有变化。结果就是方截面的边长随着自然计数的序列变化，也就是说，第一个棱柱的正方形截面边长为1厘米，第二个则为2厘米，第三个则为3厘米，依此类推直到第十个棱柱，它的正方形截面边长就是10厘米。因此，棱柱相互之间的比例与平方数序列相同（1、4、9等），第一个棱柱的边长为1厘米，那么四个的这样的棱柱能构成边长为2厘米的第二个棱柱，九个这样的棱柱才能构成边长为3厘米的第三个棱柱，等等依此类推。因此，教孩子们认识厚度的十件工具是成如下比例的：1:4:9:16:25:36:49:64:81:100。

粉红色立方体的边长根据数字顺序依次递增，即第一个立方体的边长为1厘米，第二个立方体的边长为2厘米，第三个为3厘米，依此类推至第十个立方体，它的边长也就是10厘米。因此，这些立方体的体积之间的联系就是从1～10这个数列的立方乘积之比，也就是1:8:27:64:125:216:343:512:729:1000。事实上，要凑足边长为2厘米的“第二个”粉红色立方体就需要8个边长为1厘米的“第一个”粉红色立方体；要凑足边长为3厘米的“第三个”粉红色立方体则需要27个边长为1厘米的“第一个”粉红色立方体，等等依此类推。

孩子们对这种区别有着直觉性的认识，因为他们意识到粉红色立方体的练习是三套练习中最容易的，而绿色木棒的练习是最难的。当我们直接教孩子算术时，我们要选用长棒，然而我们需要把它们改进一下，将它们分成十部分，每部分长度均为10厘米，并且要把它们分别漆成红色和蓝色。比如，比第一个木棒长4倍的木棒显然可以看出是由四个相同长度的木棒组成的，它们呈现出红蓝相间色，并且与所有其他的木棒相似。

我们把木棒按顺序摆好后就可以教孩子们计数了：1、2、3等，数数的时候用手一个一个点着它们，从1一直数到10。为了帮助孩子树立一个清晰的计数概念，我们还利用惯常的三阶段方法让孩子们识别单个的小木棒。

我们把头三个木棒放在孩子面前，指着它们或把它们依次握在手中，为了把它们出示给孩子，我们这样说道：“这是1个”，“这是2个”，“这是3个”。我们用手指着每个木棒的分割线来计数以确定：“1、2，这是2”，“1、2、3，这是3”。然后，我们对孩子说：“给我2”，“给我1”，“给我3”。最后，我们指着一个木棒问孩子：“这是几？”孩子回答：“3”。然后，我们和孩子一起数：“1、2、3”。

我们用同样的方式继续按顺序教孩子们计数，根据孩子的反应，我们每次都在原有基础上添加一个或两个木棒。

这套教学用具的重要性在于它能够给孩子一个清楚的计数概念。当孩子叫出一个数时，这个数就像是一个具体的物体那样存在着，就像是一个数与实物相结合的联合体。当我们说一个人拥有一百万时，我们是说他拥有的财富值那么多的价值衡量单位，并且这些价值单位都属于一个人。

所以，如果我们给7加上8（7＋8），我们给一个数加上另一个数，这些数量很明确地代表着同类单位的集合。

当孩子给我们展示9的时候，他手里拿的是一根不易弯曲的木棒，这根木棒本身是完整的，只不过它由可以计数的9个相等的部分组成的。当孩子做加法8＋2时，他会把两个木棒连接摆放在一起，这两个木棒其中一个是由8个长度相等的小木棒构成，另一个则是由两个长度相等的小木棒构成。但是，在一般的学校中，教孩子们计算时，为了让课程显得轻松和简单些，老师们让孩子们用各种各样的小物体来帮助计算，比如，豆子、弹球等等，在进行我前面提到的8＋2的计算时，孩子先拿出8个弹球，然后再添加两个，那么，孩子脑中正常的印象和感觉就不是做了8＋2的运算，而是做了1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1然后再1＋1。结果并不是那么清晰，而且孩子还必须努力在脑中牢记这样一个概念：8个弹球作为一个联合整体是与一个单个的数字8相对应的。

这种努力常常会使孩子倒退，使他对算术的理解力推迟几个月甚至几年。

使用教孩子们认识长度的教学用具来教孩子们进行10以内数字的加法和减法运算会简单得多。通过让孩子摆放木棒可以使这个问题更有趣：他先把木棒按正确顺序（摆放长楼梯的顺序）摆好，接着拿起最后一根木棒（1）放到9旁边，同样把（2）放到8旁边，等等，直到5为止。

这个简单的游戏演示了10以内的加法：9＋1、8＋2、7＋3、6＋4。当孩子要把木棒放回原处时，他必须先拿走4并把它放到5的下面，接着依次拿走3、2、1。在这个过程中，他把木棒按顺序正确放回原处，同时也进行了一系列的减法：10-4、10-3、10-2、10-1。

向孩子教授实际数字标志着从木棒向使用独立的单位进行计算的一个飞跃。孩子们了解了数字后就可以将其用于抽象概念，而木棒则用于具体概念。也就是说，数字代表了一定数量的独立单位可以结合成的一个整体。

我们可以这样说，语言的综合功能以及它向人类脑力劳动展现出的广阔领域可以通过数字的功能来论证，数字现在可以代替具体的小木棒了。

只使用现有的木棒会把算术限制在只能进行10以内或稍多一点数字内的简单运算，在意识的建立过程中，这些运算只比那些简单的初级的感知教育向前进了一点点。

数字，是单词，是图形符号，它能使人类的数学思维在其进化过程中取得无限的进步。

在教学用具中有一盒光面卡片，上面粘着从砂纸上剪下的从1到9的数字。这和粘着砂纸字母的卡片类似。教学方法是这样的：让孩子触摸数字同时说出它们是几。

比起学习字母，孩子在认识数字的这个过程中做得要更多些。老师给他们示范该如何把每个数字放在对应的木棒上。当用这种方式学完所有的数字后，接下来的一个练习就是按大小顺序把数字卡片放在木棒上。之所以这样设计是因为它们形成了一个充满快乐的摆放卡片的连续步骤，在以后的很长一段时间，孩子们都很乐意重复这个智力游戏。

这个练习过后，我们可以称为“孩子解放”的时期就到来了。他掌握这些数字了，这些数字现在是他的了，他知道如何利用它们将这些最小的整数组合到一起。

为此，我的教学用具中还准备了一套木钉，除此之外，我们还给孩子们提供各种各样的小工具：小棒、小积木、筹码等等。

练习内容就是在数字下面放上相应数目的东西。孩子可以利用教学用具中的盒子（图61），盒子里面设有若干小格间，每个小格间上面印着数字，孩子在格间内放入相应数目的木钉。另一个练习是把所有的数字卡片放在桌子上，然后在数字下面摆放相应数目的积木、筹码等。

这仅仅是第一步，这儿不可能涉及到接下来的关于零、几十或其他数学运算的课程，要开展这些课程可以参考我撰写的更详细的作品。但教学用具本身可以说明一点问题。在盛着木钉的盒子内有一个印着0的格间，这个格间内“什么都不能放”，我们从1开始。

0就是没有，它安排在1旁边可以使我们数过9的时候继续数下去——10。

如果我们不使用1，而使用像木棒10一样长的工具，那我们就可以数10、20、30、40、50、60、70、80、90。在教学用具中有这样的框架，它上面嵌着印有诸如10到90的卡片，这些数字就这样固定在框架上，数字1到9可以滑移同时遮盖住0。当数字10的0被1遮住时，那结果就是11，如果被2遮住，结果变成了12，等等，直到最后一个数字9。接着我们转到20（第二个10），诸如此类，从10到10（见图64）。

刚开始用卡片练习组合几十这些数字的时候，我们可以使用小木棒。我们先从框架的第一个10开始，我们先拿木棒10，接着我们把木棒1放到木棒10旁边，同时滑移数字1遮住10的0。接着我们把木棒1和数字1从框架拿走，在它们的位置放上木棒2和数字2，诸如此类，直到9。进一步我们要用两个木棒10来组合成20。

在做这些练习的时候，孩子们表现出极大的学习热情，这些练习使他们进行两项活动，并使他们的头脑清晰。

在书写和算术中，我们积聚了艰苦教育的成果，教育的内容包括协调各个动作和初步认识世界。这种锻炼与发展是一个人第一次致力于与世界进行智力对话的自然结果。

如果不通过书写语言和数字对所有这些帮助孩子理清了意识的初期收获加以巩固的话，它们就有可能被荒废。一旦它们借助语言和数字这两个工具确定和巩固下来，这些经验就能为未来教育展开一个无限广阔的前景。因此我们所做的就是把孩子带入一个更高的层次——文化层次——他现在可以接着去学校了，但这个学校不是我们现今所谓的学校，在当今的学校里，我们总是毫无理智地试图给那些没经过准备的或没经过预先教育的大脑灌输知识。

为了使那些已经受过系统训练并且还没有对正常工作感到厌倦的头脑保持健康，我们的孩子必须有一个新型的学校来获取文化。我那些针对更大年龄段的孩子的教学方法是这些方法的延续，它们已经是非常超前的了。