很多幼儿在计数时都是通过背诵记忆中的数字顺序，但一旦遇到与这些数字相对应的数量时，他们就糊涂了。

在计数教学中使用的第一个材料是一套由10根小木棒组成的教具，这套教具已经在前面的感官教育中使用过了，用来教给儿童关于长度的概念。这套小木棒的长度从1到10逐个递增。最短的是4英寸，第二个是8英寸，以此类推，直到第十个是40英寸。但是，这些用来计数的小木棒并不是单一颜色的，这与用来练习目测长度的小木棒有所不同。在这套教具中，木棒以4英寸为一个单位被交替漆成红色和蓝色，这样就可以数出一根木棒包含几个4英寸。如果第一个木棒代表1，其余木棒相继代表2、3、4、5、6、7、8、9、10。这套教具的优势在于，它既代表了一个整体，又包含可以计数的单位，而这些单位的数量正好是它所代表的数字。例如，第5根木棒，从整体上代表着数字5，但是它同时包含了5个以不同颜色区分的单位。这就克服了将一个一个的单位汇总计算的困难。如果我们使用任何形状的小物体进行计数，例如用同样大小的小立方体，儿童就无法理解为什么老师将第一个立方体放下时说“1”，把第二个立方体放下时说“2”，并以此类推。幼儿习惯把每一个新加入的物体都数成1。他会说：“1、1、1、1、1”，而不是“1、2、3、4、5”。

一个团体会随着每一个新成员的加入而不断扩大，理解这一概念对于3岁半到4岁的儿童学习计数是一个主要的障碍。一些独立的单位组合在一起，形成一个整体，这超出了儿童的理解能力。实际上，很多幼儿在计数时都是通过背诵记忆中的数字顺序，但一旦遇到与这些数字相对应的数量时，他们就糊涂了。计数他的手指、手和脚对儿童来说是比较具体的任务，因为他总是能够找到由同样的物体组成的确定的数量。他知道他有两只手和两只脚。

但是，他很少能够确定无疑地数出一只手上的手指，即使当他正确地数出手指后，他也很难明白自己为什么要对着一只手上5个同样的手指数“1、2、3、4、5”。这种概念对于一个更为成熟的头脑来说根本不成问题，但是对于幼儿来说却是学习计数时的一大障碍。我们需要对儿童提供明确的帮助，才能使他们的头脑获得最大限度的准确性和具体性。当我们把计数用的木棒提供给孩子们时，我们看到即使最小的孩子也对计数产生了强烈的兴趣。

这些木棒对应着不同的数字，其长度逐级增加。它们不仅提供了数字的绝对概念，同时也提供了相对概念。儿童已经在感官练习中对它们的比例进行了研究。在这里，他们要从数学的角度对这些木棒进行判断，这便是算术的开端。儿童可以通过这些木棒进行数字的组合与对比。通过把一个单位构成的木棒摆放在两个单位构成的木棒旁边，就形成了三个单位的长度。把三个单位长的木棒与两个单位长的木棒连接在一起，就构成了5个单位长的木棒。

然而，最为有趣的练习是根据木棒的长度按顺序把它们排列在一起，就像在感官练习中所做的那样。这个练习的结果是，当木棒像风琴的管子一样被排列在一起时，它们的红色和蓝色就会组成美丽的横条图案。把最短的包含1个单位的木棒摆放在包含9个单位的木棒顶端，把第二个放在第八个顶端，把第三个放在第七个顶端，第四个放在第六个顶端，它们全部等于包含10个单位的最长的木棒。这种数量的移动和组合难道不是数学运算的开端吗？与此同时，用这种方式移动物品也是一种令人愉快的游戏，儿童的头脑无需费力地去思考由不同的单位组成一个整体来代表一个数字的概念，而是可以把新鲜的能量用于更为高级的练习，也就是对数量进行判断和求和。这个障碍一旦被消除，儿童的全部精神能量便得以发挥，他便会在学习中取得与他的年龄相符的进步。当儿童开始学习读写时，他们很容易掌握代表数字的符号。我们在给孩子们提供砂纸字母的同时，也给他们提供了砂纸数字。通过用手指描摹这些数字，他们能够学会写这些数字，还能认识它们的名字。当他们学会了一张卡片后，这张卡片便被放在相应数量的木棒上。这个将书面符号与相应数量进行配对的练习，类似于将一张卡片放在它所代表的物品上的练习。当这个练习被成功地完成后，儿童便为今后漫长的数学学习打下了基础。木棒的总和可以被写下来，与数字相对应。5岁的儿童有时会在笔记本中写满他们的算术题。

尽管我们将木棒教具作为儿童算术启蒙的主要帮助，但同时我们还使用了另外两种物品。其中之一帮助儿童计数独立的单位和理解数组的概念，同时它让儿童认识下列连续的符号：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。这个被我们称为“纺锤托盘”的教具有着不同的格子，每个上面按照顺序标明1～10的数字。儿童在这些格子里将不同物品所对应的数字进行分组，从而构成单位，这些物品用纺锤形的长棒代表。

另一个教具我们在前面已经提到，它是由一套卡片构成，这些卡片放在一个箱子里，同时里面还有一些物品（彩色书签）。每张卡片上面分别有1～10的编号，它们的顺序被打乱，儿童必须首先将它们排成一排，通过这种方式表示他理解数字的顺序，并认识代表这些数字的符号。然后，他要在每个数字下面摆放相应数量的彩色书签，把它们两两一组放在一起，也就是一对书签放在另一对书签上面。这样，奇数和偶数的区别便自动显现出来。这就是我们认为让儿童为计数和算术运算打好基础所必需的全部教具。

接下来我们要对这些练习进行更加详细的描述，以便为教师们提供实际帮助。木棒根据各自的长度进行排列。进行这项练习的儿童必须从A侧开始计数木棒红色和蓝色的部分。

然后，他根据每个木棒所包含的单位数量，从最短到最长为每个木棒命名，并从B侧触摸这些木棒，它们在这一侧构成了阶梯状。这个阶梯的编号方式与最长的木棒所包含的单位编号方式相同：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。这样，儿童就可以验证一个事实，即三角形的每个边都对应着数字10，随后他会自发地多次重复这个练习，因为他发现这很有趣。

我们将识别长短的感官练习与计数结合在一起。木棒被放在地上，或打乱顺序放在桌子上。老师拿起其中一根，不是简单地让孩子看着它，而是让他计数它的节数，例如，5。然后她对孩子说：“把下一个最长的木棒给我。”孩子会通过目测找出木棒，老师会让他把两个木棒放在一起，计数它们的节数，从而验证他找得是否正确。这样的练习可以多次重复，儿童可以通过这些练习学会给每一级阶梯赋予一个特定的名字。现在，他把它们称作：“第1根”、“第2根”、“第3根”、“第4根”等。最后，为了简便起见，他可能会一边计数它们，一边称呼它们：“1”、“2”、“3”、“4”等。

由图形符号代表的数字。此时，如果儿童已经学会写字，我们可以给他用砂纸做成的数字，并且同样按照前面提到的三个不同阶段进行：“这是1”、“这是2”、“给我1”、“给我2”、“这个数字是什么？”孩子必须用手指描摹这些数字，就像描摹字母一样。

数字练习：使书面符号与数量相关联。我为这些数字制作了两个容器。每个容器都包括一个水平的托盘，每个托盘都被分隔成5个小格子，里面可以放置物品。第二个托盘被竖直放置，与第一个托盘形成直角，它也被垂直线分成5个部分。在每个部分里都有一个数字。在第一个托盘里是0、1、2、3、4，第二个托盘里是5、6、7、8、9。

这个练习很简单。它要求在水平托盘里放置与垂直托盘里的数字相对应数量的物品。为了使练习富于变化，我们给孩子们提供了不同的小物品。我使用特制的小纺锤、福禄培尔的立方体，以及玩国际跳棋所使用的圆片。一组物品被放在儿童面前，他必须把它们放在相应的位置，例如将一个圆片放在数字1旁边，将两个圆片放在数字2旁边，以此类推。当孩子完成了他的任务，并认为自己成功了时，他会叫老师来进行检查。

零的练习。我们等待儿童指着标有0的格子问：“我应该把什么放在这儿？”我们就会回答：“什么也不放，零就是什么也没有。”

但这还不够，我们必须让儿童感觉到零就是什么都没有。为了实现这个目的，我们设计了一些非常有趣的练习。我坐在他们中间，他们坐在小椅子上围在我身边，我转向一个已经进行过数字练习的孩子说：“来，亲爱的，到我这里来零次。”孩子几乎都会跑到我这里，再回到他的座位上。“你到我这里来了1次，而我让你到这里来零次。”“但是我该怎么做呢？”“什么也不做，因为零就是什么都没有。”“但是我怎么才能什么也不做呢？”“就是不做任何事。你必须坐着不动。你不能动。你一次也不要到我这里来，‘零次’的意思就是一次也没有。”

我们重复这个练习。“你，亲爱的，给我零个飞吻。”孩子激动地微笑着，一动也不动。“你听明白了吗？”我用近乎生气的语气重复道。“给我零个吻，零个吻。”我停下来，降低声音，仿佛对他们的笑声感到生气，然后用严肃甚至威胁的口气对他们中的一个说：“你，到这里来零次！我告诉你，到这里来零次。听明白了吗？我在对你说话。到这里来零次！”他没有动。笑声更响亮了，这笑声是由我从恳求到威胁的态度转变所引起的。“那么，”我悲伤地叹口气说，“你为什么不来？你为什么不来？”然后，所有的孩子都会笑得前仰后合，并齐声喊道：“零就是什么都没有！零就是什么都没有！”“啊，是这样吗？”我平静地微笑着问，“那么你们所有人都到我这里来1次！”他们立刻一拥而上。

后来，在教孩子们写数字的时候、在教零的时候，我们会说：“零看起来像字母O。它是O吗？不是，它不是零。零是什么都没有。”

数字记忆练习。当儿童能够认识书面数字并了解它们的含义，我就会让他们进行下面的练习。

我制作了一些卡片，每张卡片上印着或写着从0～9的数字。我经常使用从大的日历上剪下来的数字。这些数字最好是红色的，我会把数字周围的任何文字都剪掉。我把这些卡片折叠起来，放入一个箱子，让孩子们从中抽取。一个孩子从箱子中抽出一张卡片，把它拿到自己的座位上，悄悄地看一眼，再把它折上，不把他看到的数字告诉任何人。然后，我让那些年龄较大、能够认识数字的孩子们一个一个地，或是一组一组地来到老师跟前的一张大桌子前，桌子上堆放着各种物品。这些物品可以是立方体、福禄培尔积木，或是我为重量感觉练习而设计的小道具。每个孩子都要按照他卡片上的数字取走相应数量的物品。那张写有数字的卡片此时仍然折起来留在孩子的座位上。这样，孩子不仅要在排队走到桌子前的过程中记住他的数字，还要在他取走物品并一个一个地计数时记住这个数字。此时老师可以对一个孩子的记忆力进行有趣的观察。

当孩子取走他的物品后，他要把它们两两一组放在他的桌子上，如果这个数字是奇数，他就把多出来的一个放在最后一对物品下方的中央。9个数字的排列如下图所示：

x代表数字。孩子必须把折起的纸片放在标有。的地方。当他完成这项任务后，就等待老师来检查他的工作。老师来到他身边，打开折起的纸片，看一看上面的数字，如果孩子没犯任何错误，就给予表扬。

在这个游戏一开始的时候，儿童常犯的一个错误是取走过多的物品。这并不是因为他没有记住他的数字，而是因为他想拥有更多。这是自然状态下、未受过教育的人类的本能。老师会试着向孩子们解释，取走那么多东西是没有用的，这个游戏的有趣之处就在于按照他们纸片上的数字取走相同数量的物品。

他们会逐渐明白这个概念，但不像我们想象的那么容易。一个孩子必须努力地进行自我克制，才能按照规定的数量取走物品。例如，从面前堆积如山的物品中只取走两个，而同时看到他的小伙伴们取走了更多。因此，我更多地把这个练习视为一个意志力练习，而不是计数练习。

一个孩子如果抽到了数字零，他就必须坐着不动，即使他看到同伴们纷纷站起来到桌子前面去取东西，而他却不能。抽到零的孩子常常是一个很会数数的孩子，他非常希望能够取来很多物品，把它们按顺序摆放在桌子上，然后骄傲地等待老师前来检查。

研究那些抽到零的儿童的面部表情是一件非常有趣的事。一名儿童对待这样一个结果的反应，能够在很大程度上体现出他的性格。有些儿童不动声色，装出满不在乎的样子，以此来掩饰他们的失望。一些儿童会以一个突然的动作来表示他们的失望。还有一些儿童无法掩饰他们的微笑，因为他们发现自己处于一个奇妙的境地，并且会激起其他人的好奇。另一些儿童会目不转睛地注视着他们的同伴的一举一动，直到练习结束，流露出一点嫉妒，以及明显的渴望。还有一些儿童显示出听天由命的表情。

在老师进行检查的时候，当他们被问到抽到了什么数字时，他们承认自己抽到了零的表情也十分有趣：“那么你呢，你没有取来任何东西吗？”“我抽到了零。”“这是零。”“我的是零。”他们通常会这样回答。但是他们的面部表情和语调会流露出各种不同的感情。少数儿童会坦白地承认这个不寻常的数字令他们感到烦恼，大多数孩子的反应则是困惑或者顺从。

我们必须对儿童的行为进行一番教导：“你看，要想保守零的秘密是很困难的。它总是会自己泄露秘密。你应该装作不在乎的样子，不要让任何人知道你什么也没有。”实际上，一段时间之后，骄傲和自尊会占据主导地位，儿童开始习惯于抽到零或是较小的数字。他们不再感到烦恼，而是能够有意地掩饰最初所产生的轻微愤怒。

20以内的加减法、乘法和除法。我们用来进行最初的算术运算的教具与计数所用的教具相同——长度逐级递增的木棒，它已经覆盖了十进制的简单运算。如前所述，这些木棒用它们所代表的数字进行命名：1、2、3、4等。它们按照各自的长度以数字的顺序进行排列。

第一个练习是让儿童对木棒进行重组，使它们的总和等于10。最简单的方法是从1这一端取出一个最短的木棒，再从9这一端取出一个最长的木棒。我们可以发出这样的指令：“拿出1，把它和9加在一起。”、“拿出2，把它和8加在一起。”、“拿出3，把它和7加在一起。”、“拿出4，把它和6加在一起。”这样，我们就有了4组总和等于10的木棒。这时还剩下一个5，但是我们可以把它纵向翻转一下，这样就达到了10的长度，这也显示了5乘以2等于10。

这些练习被重复了一遍又一遍，儿童逐渐地学会使用一些技术语言：“9加加1等于10”、“8加2等于10”、“7加3等于10”、“6加4等于10”，以及“5乘以2等于10”。最后，我们教给儿童“加”、“等于”和“乘”的符号，并让他们练习写这些符号。这样一来，我们的孩子们就可以在他们的作业本中整齐地写出以下算式：

当儿童抱着极大的兴趣完成了这些练习，并落实在纸上之后，我们就要把他们的注意力转移到减法上来。从最后一个算式中去掉4，剩下的是6。从倒数第二个算式中去掉3，剩下的是7。从下一个算式中去掉2，剩下的是8。从第一个算式中去掉1，剩下的是9。然后我们可以用更为准确的语言表达：“10减4等于6”、“10减3等于7”、“10减2等于8”、“10减1等于9”。

至于最后剩下的5，它等于10的一半，如果我们把最长的木棒分成两个等份，就相当于用10除以2。因此，10除以2等于5。我们可以用下列算式来表达。

一旦儿童掌握了这个练习，他们就可以自己尝试新的练习。我们能把3分成两个部分吗？让我们把1和2加在一起，然后把它们写下来，这样我们就能记住：2＋1＝3。4可以由哪两个部分组成？3＋1＝4，4－3＝1，4－1＝3。

2与4的关系相当于5与10的关系，也就是，当把2纵向翻转一次时，它便等于4的长度。因此4÷2＝2，2×2＝4。这样我们就可以考虑以下问题：我们可以用哪些数字来玩这个游戏？答案是3和6，4和8，即：

2×2＝4;3×2＝6;4×2＝8;5×2＝10;

10÷2＝5;8÷2＝4;6÷2＝3;4÷2＝2。

此时，我们发现可以对用来玩数字记忆游戏的立方体加以利用：

从它们的排列就可以立刻看出哪些数字可以被2整除：所有下面没有单独一个立方体的数字。这些数字是偶数，因为它们可以成对排列，也就是两两排列，2的除法非常简单，因为只需将两列正方体从中间分开即可。只要数出一列正方体的数量，就可以得出答案了。要想重新得到原始的数字，只需把两列正方体组合在一起就可以，例如2×3＝6。5岁的儿童在这方面不会遇到什么困难。

很快，这种重复就会变得单调。但是我们为什么不能把练习稍作改变呢？让我们拿出由10根不同长度的木棒组成的教具，这次不再把1放在9上，而是放在10上；把2放在9上，而不是放在8上；把3放在8上，而不是放在7上。2也可以放在10上，3放在9上，4放在8上。在这种情况下，我们得到的结果是一个大于10的长度，我们必须对这些数字进行命名：11、12、13等，一直到20。使用立方体进行的游戏也无需局限在9以内。

当儿童学会了10以内的运算后，他们就会轻松地掌握20以内的运算。唯一的难点在于除法，这需要几堂课的时间才能学会。

除法教学。10以上的数学运算。在这里，必需的材料包括一些正方形卡片，上面用大字体印着数字10，高度大约1.5～2英寸，还有一些长方形卡片，宽度是正方形卡片的一半，每张卡片上印着从1到9的一个数字。这些简单的数字被排成一列，1、2、3、4、5、6、7、8、9。然后，由于还有更多的数字，我们必须再次从1开始。这就像是木棒系统中从9向10晋级的那一个单位。当我们沿着阶梯数到9后，还剩下一个单位，我们必须再用1来表示，因为已经没有更多的数字了。但是这个1的地位要比普通的1更高，为了将它区分开来，我们在它旁边放上一个没有数值的符号，也就是0。这样我们就得到了10。然后我们用长方形中的数字按顺序来替换0，这样就得到了11、12、13、14、15、16、17、18、19。组成这些数字的方法是将木棒1加在木棒10上，然后是2、3、4，最后将木棒9加在木棒10上，组成一根很长的木棒。如果我们数一数它的蓝红交错的节数，就可以得到19这个数字。

这样，老师就可以指挥孩子用木棒进行练习，她可以拿出表示10的卡片，然后用另一个数字代替0，例如16。这时孩子就要把木棒6加在木棒10上。老师把6拿走，换上另一张印有数字的卡片，例如数字8。这就组成了数字18，这时孩子要拿走木棒6，换上木棒8。

这些练习都可以用书面方式表示，例如，10＋6＝16；10＋8＝18等。减法的教学方式与加法相同。

当儿童完全理解了数字的含义时，就可以只用卡片来进行组合。数字被写在两张长形的卡片上，如下图中的A和B，上面印有1～9数字的长方形卡片被用来替换这些数字的个位和十位。

印有1的长方形卡片被用来替换卡片1上的第二个10的个位数字，接下来是2，以此类推。这样，左侧的十位数字保持不变，右侧的个位数字从1～9依次变化。

卡片B的操作更为复杂。印有不同数字的卡片这次被放置在左侧的一列，依次从1～9排列。到达9以后，要继续用10进行替换，这样就得到了100。

我们这里几乎所有的孩子都能数到100，这个数字被作为对他们好奇心的奖励。我认为这种教学方法不再需要更多的解释。