与其他人不同的是，我认为算术非常难懂，过多地期望这么小的孩子掌握它是件很愚蠢的事情。

对于我们来说，孩子能够数到100，并进行相关的练习似乎很重要。因为这种练习将最基本的数字与简单的计算结合在一起，尤其由于算术运用的是一种推理方法而不是一种基于机械记忆的体系。二十多年以来，我们的教学一直局限于这些练习。

总体上说，与其他人不同的是，我认为算术非常难懂，过多地期望这么小的孩子掌握它是件很愚蠢的事情。

实际上，经验告诉我们，与他们热衷的事情比起来孩子对算术几乎没有什么兴趣，譬如书面语言，孩子们掌握它之后会产生令人吃惊的效果。孩子对于语言学习的浓厚兴趣显然证实了他们对难懂和枯燥的算术普遍存在偏见。

与此同时，我为小学里年龄稍大的孩子准备了一些通过几何形状代表数字的教具，以及能够让孩子进行不同数字组合的可移动物体。通过这些教具和物体，我们很快进入到设计好的教学体系里，而对于年龄稍小的孩子也产生了同样令人惊奇的效果。我们将这些非常好的教具称之为“教学珠子”，通过小棍子或小棒子上的彩色玻璃珠从1～10的自然排列来代表数字。许多这样的教学珠子将数字组合成组。因此，当代表10的教学珠子重复摆放十次，它就组成了一个十排的正方形，里面有一百个珠子。最后，十个这样的正方形彼此叠放在一起，搭配起来后就形成一个立方体。由10组成的立方体里包含这1000个珠子。应用我们开发的儿童教育方法的文法学校，详细描述了这一教学素材。

现在，由于操作和掌握起来非常容易，竟然有些四岁大的孩子被这些奇妙的教具所吸引。我们惊奇地发现，他们开始使用这些教具，与他们看到的年龄稍大一些孩子的做法如出一辙。结果，孩子们对于数字游戏的热情大大地增加了，尤其是通过这十进制，算术真正地变成了一种他们喜爱的练习。

4岁大的孩子将数字组成到1000。以后，当孩子5～6岁时，就会有非常明显的进步，那就是现在6岁的孩子已经能够完成几千以内数字的加减乘除四种运算。

我们终于开发出这一教程，孩子们能够求出两位、三位，甚至是四位数字的平方根。甚至孩子们能够通过组合数字棍的方法，解决简单的代数问题。

孩子们在做这些练习时得到的快乐以及对小几何体的理解能力，促使我将这些教具做的就像福禄贝尔著名“礼物”一样：立方体和棱柱体排列成一个正方形盒子。我并没有将所有立方体和积木都做成一个形状，而是用木头做了一个巨大的立方体，每条边长大约有四英寸，将它分成不对称的两部分，然后再分成不对称的三部分。当这个巨大的立方体通过这种方式被切割后，巨大的立方体变成了其他小立方体和不同形状的矩形棱柱。这一教具代表的是代数方程式，即立方体的二项式和三项式。相同十进制数值的实体有着相同的颜色，每组不同的实体颜色也不相同。

然后基于此，当孩子打开盒子时看到的是单一物体，一个涂有很多颜色的立方体，它的单独部分排列起来，组成一个单独的组。譬如在三项式里，有三个不同尺寸和颜色的立方体；相同数值的棱柱体有相同颜色的正方形表面，例如绿色；三个其他棱柱体也有一个正方形表面，但是形状不同，比如说涂上黄色；三个其他棱柱体有正方形表面，但是不同于其他两组棱柱体，比如说涂上蓝色。最后，所有面都呈矩形表面的六个棱柱体被涂上黑色。上面提到的三组棱柱体的矩形表面也是黑色的。这些小小的色彩斑斓的物体让孩子非常着迷。首先，他一定会根据它们的颜色给它们分组，接下来，用各种方式将它们排列起来，杜撰一些小故事。故事里三个立方体代表三个国王，每个国王都有一个随从，并且还有两个和这个随从地位相当的人物，警卫穿着黑色衣服。通过使用这一教具，取得了很好的效果。这些效果之一就体现在，假如下面的代数式：

a³＋3a²b＋3a²c＋b³＋3b²c＋c³＋3c²a＋3c²b＋6abc

最后，立方体依照一定的次序被放回到盒子里，这样就又重新变成一个巨大的色彩斑斓的立方体(a＋b＋c)³。

当孩子们玩这一教具时，对这些物体的排列会产生一个视觉印象，这样便能够记住他们的数量和排列规律。

从这些物体获得的感官印象为大脑提供了素材，没有什么物体能够让四岁大的孩子如此着迷。以后，通过称呼这些国王a、b、c，并根据它们各自的国王写下每个物体的名字，五六岁大的孩子就能够在他们的大脑里储存这个三项式立方体的代数方程式，而不用再看这个教具，因为他们通过视觉记忆记住了不同物体的排列。这一练习赋予孩子们一些在实践中能够获得的有关可能性的概念。

所有这种通过帮助记忆的卡片和能产生很好效果的其他教具，进行的算术教学和代数原理教学都似乎非常神奇。结果表明算术教学应该彻底改头换面，应该以建立在对具体事物认识上的感官认知作为开始。

显然，当这些接受过感官认知训练的6岁大的孩子入读普通学校，而那里的其他孩子都从数1、2、3开始时，他们会发现自己与周围的环境格格不入。如果想要让他们在学业上继续大踏步前进的话，那么这些小学的教育体制必须进行根本的变革。

在这个体系中，孩子要不停地用他的双手移动物体并积极地锻炼他的感官，并且该教育体系还考虑到了孩子对数学的特殊天赋。当离开这一教具时，孩子们很容易就会想出运算结果。这样一来，孩子们不但完成了一项抽象的脑力运算，而且促使他们自然而然和自发的倾向于使用心算。

譬如，一个英国孩子与他的妈妈一起走下伦敦的有轨电车，这时他说道：“如果车上的人都吐痰的话，那么总共要有34英镑的罚金。”这个孩子注意到一个警示，上面写着任何在有轨电车里吐痰的人都要被处以一定数额的罚款。于是，他开始花时间通过心算的方法计算出罚金的总数，并把它换算成英镑。